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Normalmente era yo el que distraía la atención de mi abuelo de sus lecturas lanzándole interrogantes, pero esta vez fue él el que requirió mi atención: “nieto, tengo al menos 2 problemas que plantearte ahora que ya eres ingeniero”. Doble sorpresa, porque no imaginaba nada que yo pudiera hacer o pensar que captara la atención de mi abuelo, satisfacer su curiosidad o resolver una duda. Esto fue lo que me planteó: “Empezaré con un texto de Borges que habla del sótano de un comedor donde se encontraba lo que el llama un Aleph, que es el lugar donde están sin confundirse, todos los lugares del mundo vistos desde todos los ángulos. Querría que… “. Y entonces le interrumpí pensando que deseaba que resolviera ese problema ingenieril, pero no era eso exactamente y continuó: “no ese el problema que quiero que resuelvas, sino otro parecido. La solución de éste es fácil, porque estaría en el centro de una esfera donde cupiera todo el Universo y fuera de la cual se construyera un espejo que sería una esfera concéntrica y exterior al mismo de tal forma que reflejara hacia el centro todas la imágenes. En ese centro estaría un observador con un telescopio que girara en todas la direcciones; con ello se cumpliría el requisito del Aleph de Borges. Yo voy más allá y te planteo cuál sería el lugar del Universo –si es que hay a un solo lugar- desde donde se vería el mismo desde todos los puntos de vista posible simultáneamente”. Le pedí entonces unos días para reflexionar sobre el problema y cuando ya me iba se sentó en su butaca, me invitó a sentarme en el sofá y me dijo: “nieto, este problema es un aperitivo, un entremés en este teatro del mundo que es nuestra existencia. Hay algo más importante que quiero que hagas por mí. Tú conoces mi amor por los libros y aquí he pasado horas felices hojeándolos a veces, meditando sobre tantas lecturas, y muchas veces tú has sido testigo y una excelente compañía. Pero tantas otras no me has encontrado arguyendo por mi parte todo tipo de excusas, dando pie a conjeturas. Te diré ahora que esas ausencias –para tu abuela andanzas- se deben en realidad a mi pertenencia –y esto es un secreto incluso para tu abuela- a la secta… ”. Y mi abuelo siguió de la misma manera a pesar de mi cara de sorpresa: “… de los pitagóricos. No es el momento que te explique porqué y cómo he llegado a ser un personaje principal en la rama española de esta secta a pesar de mi ateismo y mis divergencias con la teoría de la transmigración de las almas de la línea ortodoxa pitagórica. A pesar de ello, digo, he sido encargado de valorar el daño que ha hecho la teoría de los números de un gran matemático. Ese matemático, como ya habrás adivinado, es George Cantor: personaje de gran valía intelectual, de origen ruso, que escribió en alemán, que vivió en Alemania y murió loco o casi; también el encargo versa sobre su posible refutación. Quiero decirte que el trabajo entraña algún riesgo, por lo que entenderé que desistas en ayudarme”. Nunca estuve más inmóvil escuchando a mi abuelo, nunca con tanta atención, nunca con tanta sorpresa, nunca con tanta intriga. Mi abuelo siguió: “ya nos hizo mucho daño el descubrimiento -¿o es invención?- de los irracionales en el triangulo rectángulo de catetos iguales de valor 1; también el desplazamiento de los números naturales por los números primos como ladrillos de la Aritmética; pero la teoría cantoriana de la posibilidad de infinitos de diferente tamaño nos ha dado la puntilla”. Mi respuesta fue como sigue: “tengo un conocimiento limitado de lo que me decís, pero conozco a una persona especialista en el tema de los transfinitos y podrá ayudarme y ayudarte”. Mi abuelo terminó la reunión con estas palabras: “Siento hacerte partícipe de todo esto, de meterte en berenjenales semejantes, pero estoy metido en un gran lío. Hay gente muy dogmática, muy exaltada, dispuesta a defender esto no con la serenidad del filósofo, no con el rigor del científico, sino con la fe del guerrero o con el dogmatismo del converso. Y para nosotros estas cuestiones son tan importantes como el evolucionismo para un darwiniano, la teoría del eterno retorno para un conformista, o la teoría del arrepentimiento para un pecador cristiano”.
La compañera experta en los transfinitos y en los conjuntos cantorianos se llamaba Luz. Era pequeña, pero de enorme energía, decidida y crítica al sistema cantoriano. Yo lo expresé la extrañeza de que hubiera escuelas en la matemática que estuvieran enfrentadas hasta extremos peligrosos y me contestó: “ahora no, pero en tiempos podían llegar al duelo. Precisamente a Cantor le hicieron la vida imposible. Es tradicional reunir a los matemáticos en 3 escuelas: la intuicionista, la logicista y la formalista, cada una con sus líderes, más de antaño que de hogaño. Te haré un resumen de lo que me pides”. Y terminó con una despedida y alguna conversación personal que no reproduzco porque no viene al caso. Yo, por mi parte, había resuelto el problema del Aleph, versión mi abuelo; o al menos eso creía yo. Un día que que pillé relajado a mi abuelo en su sillón, sin libro alguno en sus manos se lo conté: “abuelo, creo que tengo resuelto el problema planteado. La solución es parecida a la suya, pero en lugar de un conjunto de espejos planos con espejos parabólicos, de anchura cada espejo del diámetro de la Tierra y el foco hacia el centro del Universo, en una esfera también exterior al Universo. En ese centro habría también un observador con un telescopio que rotara sobre sí mismo en todas las direcciones. ¿Qué le parece, abuelo?”. Yo creía que se sumergiría en alguna profunda meditación, recostando más su corpachón sobre el sillón y exhalando humo de su pipa; todo lo contrario, se incorporó hacia delante, se sonrió y me dijo: “crees acaso que no he pensado en esa solución. Sin embargo tiene algunos defectos: 1) cada espejo nos da, en efecto, un punto de vista del Universo diferente y completo, pero debe construirse en el infinito para tener una infinidad de puntos de vista posibles; 2) no se puede ver simultáneamente porque los objetos estarían a diferentes distancias tanto de la corona exterior de espejos como del centro, donde está ubicado el observador; 3) la velocidad de la luz no es infinita, no es instantánea, como bien sabes, y lo que veríamos no es el Universo en un momento determinado, sino todo un historial del mismo; 4) la luz, fruto de tanto espejo, llenaría el Universo y no podríamos distinguir la distancia entre objetos; 5) el movimiento de los objetos lejos tanto a la corona como al centro se vería influido por la relatividad, frenándose el tiempo de los que fueran a más velocidad de los que van a menos. Ha sido un intento loable, pero no hay solución. Medítalo con la almohada”. Nunca le pillabas, todo lo tenía pensado, con o sin solución.
En pocos días tenía un escrito de Luz sobre el problema cantoriano de la multiplicidad de infinitos de distinto tamaño. Decía así: “Es este un leve resumen de un trabajo más amplio que presento como tesis de doctorado. Voy al grano, sin preámbulos ni consideraciones históricas. Te voy a indicar 2 defectos al menos del trabajo de Cantor: 1) el matemático de origen ruso parte de la hipótesis de que se puede contar, trabajar con el infinito actual como un conjunto ya hecho, sobre y con el que podemos operar de acuerdo con la regla de la teoría de conjuntos, frente al infinito potencial de Aristóteles, Euclides, Galileo, Gauss, etc., que es sólo la posibilidad de hacer algo –contar, ordenar. etc.- indefinidamente. Para mí el error de Cantor que comete en la demostración de la diagonal es el mezclar en el curso de una demostración los 2 infinitos, lo cual no me parece permitido: parte del infinito actual para obtener el conjunto de los números reales y obtiene un número distinto de todos los demás por construcción (infinito potencial); 2) Cantor demuestra con toda razón que el conjunto de los subconjuntos de un conjunto tienes más elementos que el conjunto primitivo, lo cual es una demostración genial e irrefutable. Pero entonces qué pasa si partimos del conjunto Universal, es decir, del conjunto de todos los conjuntos posibles. Si hacemos lo mismo y calculamos –mera hipótesis- el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto Universal obtendríamos un conjunto mayor que el conjunto Universal, lo cual es una contradicción porque hemos partido del conjunto mayor posible (el Universal). Tengo más cosas, pero de momento y para tranquilizar a tu abuelo creo que será suficiente”. Y Luz se despedía con consideraciones personales de nuevo. Se lo enseñé a mi abuelo un día que buscaba desesperadamente un libro. “Un momento, nieto, que no encuentro el libro sobre Pitágoras de Bergua de 1958”. Una vez encontrado el texto y feliz como un niño, tomó mi abuelo el escrito de Luz y lo leyó. Una sonrisa de satisfacción recorrió su rostro para apagarse después cuando me dijo: “conserva el anonimato de todo cuanto te he dicho, de este escrito, de tí y, sobre todo, de tu amiga Luz”.
Yo no guardé ninguna prevención de las advertencias del abuelo porque las creía exageradas. Dicen que con la edad se adivinan fantasmas donde sólo hay preocupaciones, obsesiones, frustraciones del pasado. Y sin embargo, cuando murió mi abuelo ocurrió que al día siguiente desapareció Luz. Han pasado 5 años desde entonces y no hemos vuelto a saber nada de élla. Alguna culpa flota en el aire pero, contraviniendo al poeta, no sé si es nuestra –o quizá mía- o de nuestra estrella. No lo sé y no sé como despejar la duda.
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Antonio Mora Plaza
Madrid, 21 de junio de 2008
Normalmente era yo el que distraía la atención de mi abuelo de sus lecturas lanzándole interrogantes, pero esta vez fue él el que requirió mi atención: “nieto, tengo al menos 2 problemas que plantearte ahora que ya eres ingeniero”. Doble sorpresa, porque no imaginaba nada que yo pudiera hacer o pensar que captara la atención de mi abuelo, satisfacer su curiosidad o resolver una duda. Esto fue lo que me planteó: “Empezaré con un texto de Borges que habla del sótano de un comedor donde se encontraba lo que el llama un Aleph, que es el lugar donde están sin confundirse, todos los lugares del mundo vistos desde todos los ángulos. Querría que… “. Y entonces le interrumpí pensando que deseaba que resolviera ese problema ingenieril, pero no era eso exactamente y continuó: “no ese el problema que quiero que resuelvas, sino otro parecido. La solución de éste es fácil, porque estaría en el centro de una esfera donde cupiera todo el Universo y fuera de la cual se construyera un espejo que sería una esfera concéntrica y exterior al mismo de tal forma que reflejara hacia el centro todas la imágenes. En ese centro estaría un observador con un telescopio que girara en todas la direcciones; con ello se cumpliría el requisito del Aleph de Borges. Yo voy más allá y te planteo cuál sería el lugar del Universo –si es que hay a un solo lugar- desde donde se vería el mismo desde todos los puntos de vista posible simultáneamente”. Le pedí entonces unos días para reflexionar sobre el problema y cuando ya me iba se sentó en su butaca, me invitó a sentarme en el sofá y me dijo: “nieto, este problema es un aperitivo, un entremés en este teatro del mundo que es nuestra existencia. Hay algo más importante que quiero que hagas por mí. Tú conoces mi amor por los libros y aquí he pasado horas felices hojeándolos a veces, meditando sobre tantas lecturas, y muchas veces tú has sido testigo y una excelente compañía. Pero tantas otras no me has encontrado arguyendo por mi parte todo tipo de excusas, dando pie a conjeturas. Te diré ahora que esas ausencias –para tu abuela andanzas- se deben en realidad a mi pertenencia –y esto es un secreto incluso para tu abuela- a la secta… ”. Y mi abuelo siguió de la misma manera a pesar de mi cara de sorpresa: “… de los pitagóricos. No es el momento que te explique porqué y cómo he llegado a ser un personaje principal en la rama española de esta secta a pesar de mi ateismo y mis divergencias con la teoría de la transmigración de las almas de la línea ortodoxa pitagórica. A pesar de ello, digo, he sido encargado de valorar el daño que ha hecho la teoría de los números de un gran matemático. Ese matemático, como ya habrás adivinado, es George Cantor: personaje de gran valía intelectual, de origen ruso, que escribió en alemán, que vivió en Alemania y murió loco o casi; también el encargo versa sobre su posible refutación. Quiero decirte que el trabajo entraña algún riesgo, por lo que entenderé que desistas en ayudarme”. Nunca estuve más inmóvil escuchando a mi abuelo, nunca con tanta atención, nunca con tanta sorpresa, nunca con tanta intriga. Mi abuelo siguió: “ya nos hizo mucho daño el descubrimiento -¿o es invención?- de los irracionales en el triangulo rectángulo de catetos iguales de valor 1; también el desplazamiento de los números naturales por los números primos como ladrillos de la Aritmética; pero la teoría cantoriana de la posibilidad de infinitos de diferente tamaño nos ha dado la puntilla”. Mi respuesta fue como sigue: “tengo un conocimiento limitado de lo que me decís, pero conozco a una persona especialista en el tema de los transfinitos y podrá ayudarme y ayudarte”. Mi abuelo terminó la reunión con estas palabras: “Siento hacerte partícipe de todo esto, de meterte en berenjenales semejantes, pero estoy metido en un gran lío. Hay gente muy dogmática, muy exaltada, dispuesta a defender esto no con la serenidad del filósofo, no con el rigor del científico, sino con la fe del guerrero o con el dogmatismo del converso. Y para nosotros estas cuestiones son tan importantes como el evolucionismo para un darwiniano, la teoría del eterno retorno para un conformista, o la teoría del arrepentimiento para un pecador cristiano”.
La compañera experta en los transfinitos y en los conjuntos cantorianos se llamaba Luz. Era pequeña, pero de enorme energía, decidida y crítica al sistema cantoriano. Yo lo expresé la extrañeza de que hubiera escuelas en la matemática que estuvieran enfrentadas hasta extremos peligrosos y me contestó: “ahora no, pero en tiempos podían llegar al duelo. Precisamente a Cantor le hicieron la vida imposible. Es tradicional reunir a los matemáticos en 3 escuelas: la intuicionista, la logicista y la formalista, cada una con sus líderes, más de antaño que de hogaño. Te haré un resumen de lo que me pides”. Y terminó con una despedida y alguna conversación personal que no reproduzco porque no viene al caso. Yo, por mi parte, había resuelto el problema del Aleph, versión mi abuelo; o al menos eso creía yo. Un día que que pillé relajado a mi abuelo en su sillón, sin libro alguno en sus manos se lo conté: “abuelo, creo que tengo resuelto el problema planteado. La solución es parecida a la suya, pero en lugar de un conjunto de espejos planos con espejos parabólicos, de anchura cada espejo del diámetro de la Tierra y el foco hacia el centro del Universo, en una esfera también exterior al Universo. En ese centro habría también un observador con un telescopio que rotara sobre sí mismo en todas las direcciones. ¿Qué le parece, abuelo?”. Yo creía que se sumergiría en alguna profunda meditación, recostando más su corpachón sobre el sillón y exhalando humo de su pipa; todo lo contrario, se incorporó hacia delante, se sonrió y me dijo: “crees acaso que no he pensado en esa solución. Sin embargo tiene algunos defectos: 1) cada espejo nos da, en efecto, un punto de vista del Universo diferente y completo, pero debe construirse en el infinito para tener una infinidad de puntos de vista posibles; 2) no se puede ver simultáneamente porque los objetos estarían a diferentes distancias tanto de la corona exterior de espejos como del centro, donde está ubicado el observador; 3) la velocidad de la luz no es infinita, no es instantánea, como bien sabes, y lo que veríamos no es el Universo en un momento determinado, sino todo un historial del mismo; 4) la luz, fruto de tanto espejo, llenaría el Universo y no podríamos distinguir la distancia entre objetos; 5) el movimiento de los objetos lejos tanto a la corona como al centro se vería influido por la relatividad, frenándose el tiempo de los que fueran a más velocidad de los que van a menos. Ha sido un intento loable, pero no hay solución. Medítalo con la almohada”. Nunca le pillabas, todo lo tenía pensado, con o sin solución.
En pocos días tenía un escrito de Luz sobre el problema cantoriano de la multiplicidad de infinitos de distinto tamaño. Decía así: “Es este un leve resumen de un trabajo más amplio que presento como tesis de doctorado. Voy al grano, sin preámbulos ni consideraciones históricas. Te voy a indicar 2 defectos al menos del trabajo de Cantor: 1) el matemático de origen ruso parte de la hipótesis de que se puede contar, trabajar con el infinito actual como un conjunto ya hecho, sobre y con el que podemos operar de acuerdo con la regla de la teoría de conjuntos, frente al infinito potencial de Aristóteles, Euclides, Galileo, Gauss, etc., que es sólo la posibilidad de hacer algo –contar, ordenar. etc.- indefinidamente. Para mí el error de Cantor que comete en la demostración de la diagonal es el mezclar en el curso de una demostración los 2 infinitos, lo cual no me parece permitido: parte del infinito actual para obtener el conjunto de los números reales y obtiene un número distinto de todos los demás por construcción (infinito potencial); 2) Cantor demuestra con toda razón que el conjunto de los subconjuntos de un conjunto tienes más elementos que el conjunto primitivo, lo cual es una demostración genial e irrefutable. Pero entonces qué pasa si partimos del conjunto Universal, es decir, del conjunto de todos los conjuntos posibles. Si hacemos lo mismo y calculamos –mera hipótesis- el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto Universal obtendríamos un conjunto mayor que el conjunto Universal, lo cual es una contradicción porque hemos partido del conjunto mayor posible (el Universal). Tengo más cosas, pero de momento y para tranquilizar a tu abuelo creo que será suficiente”. Y Luz se despedía con consideraciones personales de nuevo. Se lo enseñé a mi abuelo un día que buscaba desesperadamente un libro. “Un momento, nieto, que no encuentro el libro sobre Pitágoras de Bergua de 1958”. Una vez encontrado el texto y feliz como un niño, tomó mi abuelo el escrito de Luz y lo leyó. Una sonrisa de satisfacción recorrió su rostro para apagarse después cuando me dijo: “conserva el anonimato de todo cuanto te he dicho, de este escrito, de tí y, sobre todo, de tu amiga Luz”.
Yo no guardé ninguna prevención de las advertencias del abuelo porque las creía exageradas. Dicen que con la edad se adivinan fantasmas donde sólo hay preocupaciones, obsesiones, frustraciones del pasado. Y sin embargo, cuando murió mi abuelo ocurrió que al día siguiente desapareció Luz. Han pasado 5 años desde entonces y no hemos vuelto a saber nada de élla. Alguna culpa flota en el aire pero, contraviniendo al poeta, no sé si es nuestra –o quizá mía- o de nuestra estrella. No lo sé y no sé como despejar la duda.
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Antonio Mora Plaza
Madrid, 21 de junio de 2008
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