12 jun 2011

Treceavo desafío matemático de El País


Antonio Mora Plaza

En la parte superior de la figura se puede ver el dibujo para un proceso de 6 puntadas; en la inferior para 2 puntadas. A medida que el número de puntadas aumenta el ángulo “a1” (el signo “alfa” en la figura de abajo) disminuye. Vayamos a la parte inferior del gráfico. Hay se pueden ver la siguientes relaciones entre los ángulos:

(1) 2a1 + a2 = 180o

(2) a2 + a4 = 180o

(3) a3 + a4 = 90o

Si ahora eliminamos el ángulo a2 de entre las ecuaciones (1) y (2), queda la relación (la ecuación (3) no cuenta):

(4) a4 = 2a1

Ahora, con la relación (4) toca meditar. Podemos ver la parte baja de la figura que corresponde al gráficos de las ecuaciones anteriores que allí se han dado 2 puntadas. La relación (4) nos dice que el ángulo de la segunda puntada (a4) es la mitad que el ángulo correspondiente a la primera puntada (a1). Este proceso se repite así siempre como se puede ver en la parte arriba del gráfico para 6 puntadas (su ángulo sería el doble de el de la segunda puntada y cuatro veces de el de la primera), por lo que para 20 puntadas obtendríamos un ángulo 20 veces menor. Es decir, se cumpliría que:

(5) a20 puntadas = 20a1

Ahora hay que pensar de nuevo, porque para esta vigésima puntada ha de ocurrir que esta puntada sea vertical, lo cual será señal de que hemos acabado el número de puntadas. Por ello, el ángulo de esta vigésima puntada será de 90o grados. Es decir, se cumplirá también que:

(6) a20 puntadas = 90o

Y de entre las ecuaciones (5) y (6) obtenemos la relación:

(7) número de puntadas x a1 = 90o

De lo que sale:

(8) a1 = 90o / número de puntadas

En el caso particular del problema que son de 20 pulgadas obtenemos:

(9) a1 = 90o / 20 puntadas = 4,5o

Lo notable de (9) es que el ángulo a1 no depende de la distancia d sino sólo del número de puntadas. Por otro lado tenemos en el gráfico (inferior) que se cumple que:

(10) tangente a1 = m1 / distancia total (d)

De (10) despejamos la distancia vertical m1 y sale:

(11) m1 = d x tangente a1

Y sustituyendo los valores de la distancia total (25cm) y la tangente calculada en (9) que es de 4,5o:

(12) m1 = d x tangente a1 = 25 x tangente 4,5o = 25x0,787017 = 1,967

Es decir, m1 = 1,967

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