Antonio Mora Plaza
Supongo que habrá varias maneras de demostrar el problema 15, pero ahí va una de ellas. Empezaré la generalización y diré que el problema se plantea de tal forma que dado un número natural cualquier n ha de encontrarse otro número natural m tal que su producto cumpla la ecuación:
(1) nxm = nx(a1+a20+a300+ …. + ap0….0)
siendo a1, a2, …, ap cualquier dígito del 0 al 9, con un número de ceros en el sumando último ap0…0 igual a p-1 y tal que se cumpla que los productos nxa1, nxa20, nxa300, … , nxap0…0 tengan todos sus dígitos iguales a uno o cero. Como no sabemos a priori cuantos dígitos p han de necesitarse, también ha de ocurrir que los acumulados parciales han de estar compuestos de la misma manera y ser divisibles entre n para que m (el número buscado) sea siempre entero. Lo primero lo hacemos por construcción; lo segundo puede comprobarse que los acumulados también son divisibles entre n:
(2.1) nxm = nxa1
(2.2) nxm = nxa1 + nxa20
(2.3) nxm = nxa1 + nxa20 + nxa300
……………………………….….…
(2.p) nxm = nxa1 + nxa20 + nxa300 + …. + nxap0….0
En efecto, ha simple vista puede verse que todas las ecuaciones anteriores son divisibles entre n, con lo que m es siempre un número entero. La cuestión ahora es cómo asegurase que los sucesivos productos nxa1, nxa20, nxa300, … , nxap0…0 nos dan unos o ceros en los dígitos que ocupan el lugar primero, segundo, … , p-esimo dígito, respectivamente, siendo a1, a2 ,…, ap cualquier dígito entre el cero y el nueve (ambos inclusive). La siguiente tabla nos la asegura:
| A | B | C | D |
| dígitos | | | último |
| del sistema | números | AXB | dígito |
| decimal | calculados | | de AXB |
| | | | |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 5 | 10 | 0 |
| 3 | 7 | 21 | 1 |
| 4 | 5 | 20 | 0 |
| 5 | 2 | 10 | 0 |
| 6 | 5 | 30 | 0 |
| 7 | 3 | 21 | 1 |
| 8 | 5 | 40 | 0 |
| 9 | 9 | 81 | 1 |
La columna A representa los 10 primeros dígitos posibles (del cero al nueve) que son los también posibles correspondientes a los a1, a2, … , ap. La columna B (la estratégica) está calculada de tal forma que los productos de sus elementos por la columna A nos de los números de la C tales –como puede comprobarse a simple vista– que su último dígito es o uno o cero. El resultado se expone en la columna D. Es decir, con ello se demuestra que siempre es posible encontrar un número tal que multiplicado por otro nos de otro cuyo primer dígito de la derecha sea uno o cero, con lo que queda demostrado el problema. Hay una última pregunta: ¿cuántos dígitos p del cero al nueve hay que tomar? La respuesta es: tantos como sean necesarios para que se cumpla (2.p), porque mientras no se cumpla ocurrirá que:
(3) nxm > nxa1 + nxa20 + nxa300 + …. + nxap0….0
Y sabemos que se cumplirá porque se cumple para todos los acumulados como hemos visto. De la tabla anterior se puede comprobar que el número de números que satisfacen las soluciones de los números naturales que se plantea el problema están en la relación del 60% de ceros para un 40% de unos (ver columna D y contar número de ceros y de unos).
Madrid, 26 de junio de 2011.
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