5 jun 2011

12 Desafío matemático de El País

Antonio Mora Plaza

El desafío 12 de El País se puede resumir de la siguiente manera: encontrar un n y un m tal que:

(1) n2=(5+n)xm

La ecuación (1) se puede convertir en una ecuación de segundo grado tal como:

(2) n2-nxm-5m=0

Y despejando n queda:

(3) n=(m+(m2+20m)1/2)/2

De (3) se deduce que si n ha de ser un número entero (natural) ha de ocurrir que la expresión que hay bajo la raíz cuadrada ha de ser también entero. Es decir ha de cumplirse que:

(4) (m2+20m)1/2=p siendo p ese número entero. Despejando m en (4) queda:

(5) m=(-20+(202+4p2)1/2)/2

Análogamente a lo anterior, para que m sea entero ha de ocurrir que la expresión bajo la raíz lo sea, es decir, que se cumpla que:

(6) (202+4p2)1/2=q siendo q un número entero. Con operaciones elementales algebraicas queda la expresión:

(7) p2=q2/4-100

Queda por tanto la necesidad de encontrar mediante prueba y error dos número naturales tales que satisfagan la expresión (7). El resultado es que:

(8) p=24 y q=52

Ahora sustituyendo el valor de p de (8) en (5) se obtiene que m vale:

(9) m=(-20+(202+4x522)1/2)/2=16 es decir, m vale 16. Ahora queda sustituir este valor de m en (3) para calcular n y queda:

(10) n=(m+(m2+20x16)1/2)/2=20, es decir, n vale 20. Puede comprobarse ahora que con estos valores de m y de n se cumple la ecuación (1):

(1) n2=(5+n)xm=202=(5+20)x16=202=25x16.

En definitiva, la solución es n=20 y m=16 para que quede que:

202=25x16

Madrid, 5 de junio de 2011.

No hay comentarios:


Peludo, hasta siempre

Peludo, hasta siempre

la luz es el optimismo de la razón

la luz es el optimismo de la razón

muros, ni para lamentaciones

muros, ni para lamentaciones

¿Por qué?

¿Por qué?

planchando la oreja

planchando la oreja

¿naturaleza muerta?

¿naturaleza muerta?

el mamífero perfecto

el mamífero perfecto