12 Desafío matemático de El País

Antonio Mora Plaza

El desafío 12 de El País se puede resumir de la siguiente manera: encontrar un n y un m tal que:

(1) n²=(5+n)xm

La ecuación (1) se puede convertir en una ecuación de segundo grado tal como:

(2) n²-nxm-5m=0

Y despejando n queda:

(3) n=(m+(m²+20m)^1/2)/2

De (3) se deduce que si n ha de ser un número entero (natural) ha de ocurrir que la expresión que hay bajo la raíz cuadrada ha de ser también entero. Es decir ha de cumplirse que:

(4) (m²+20m)^1/2=p siendo p ese número entero. Despejando m en (4) queda:

(5) m=(-20+(20²+4p²)^1/2)/2

Análogamente a lo anterior, para que m sea entero ha de ocurrir que la expresión bajo la raíz lo sea, es decir, que se cumpla que:

(6) (20²+4p²)^1/2=q siendo q un número entero. Con operaciones elementales algebraicas queda la expresión:

(7) p²=q²/4-100

Queda por tanto la necesidad de encontrar mediante prueba y error dos número naturales tales que satisfagan la expresión (7). El resultado es que:

(8) p=24 y q=52

Ahora sustituyendo el valor de p de (8) en (5) se obtiene que m vale:

(9) m=(-20+(20²+4x52²)^1/2)/2=16 es decir, m vale 16. Ahora queda sustituir este valor de m en (3) para calcular n y queda:

(10) n=(m+(m²+20x16)^1/2)/2=20, es decir, n vale 20. Puede comprobarse ahora que con estos valores de m y de n se cumple la ecuación (1):

(1) n²=(5+n)xm=20²=(5+20)x16=20²=25x16.

En definitiva, la solución es n=20 y m=16 para que quede que:

20²=25x16

Madrid, 5 de junio de 2011.