Antonio Mora Plaza
El desafío 12 de El País se puede resumir de la siguiente manera: encontrar un n y un m tal que:
(1) n2=(5+n)xm
La ecuación (1) se puede convertir en una ecuación de segundo grado tal como:
(2) n2-nxm-5m=0
Y despejando n queda:
(3) n=(m+(m2+20m)1/2)/2
De (3) se deduce que si n ha de ser un número entero (natural) ha de ocurrir que la expresión que hay bajo la raíz cuadrada ha de ser también entero. Es decir ha de cumplirse que:
(4) (m2+20m)1/2=p siendo p ese número entero. Despejando m en (4) queda:
(5) m=(-20+(202+4p2)1/2)/2
Análogamente a lo anterior, para que m sea entero ha de ocurrir que la expresión bajo la raíz lo sea, es decir, que se cumpla que:
(6) (202+4p2)1/2=q siendo q un número entero. Con operaciones elementales algebraicas queda la expresión:
(7) p2=q2/4-100
Queda por tanto la necesidad de encontrar mediante prueba y error dos número naturales tales que satisfagan la expresión (7). El resultado es que:
(8) p=24 y q=52
Ahora sustituyendo el valor de p de (8) en (5) se obtiene que m vale:
(9) m=(-20+(202+4x522)1/2)/2=16 es decir, m vale 16. Ahora queda sustituir este valor de m en (3) para calcular n y queda:
(10) n=(m+(m2+20x16)1/2)/2=20, es decir, n vale 20. Puede comprobarse ahora que con estos valores de m y de n se cumple la ecuación (1):
(1) n2=(5+n)xm=202=(5+20)x16=202=25x16.
En definitiva, la solución es n=20 y m=16 para que quede que:
202=25x16
Madrid, 5 de junio de 2011.
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