Decimoquinto Desafío matemático de El País

Antonio Mora Plaza

Supongo que habrá varias maneras de demostrar el problema 15, pero ahí va una de ellas. Empezaré la generalización y diré que el problema se plantea de tal forma que dado un número natural cualquier n ha de encontrarse otro número natural m tal que su producto cumpla la ecuación:

(1) nxm = nx(a₁+a₂0+a₃00+ …. + a_p0….0)

siendo a₁, a₂, …, a_p cualquier dígito del 0 al 9, con un número de ceros en el sumando último a_p0…0 igual a p-1 y tal que se cumpla que los productos nxa₁, nxa₂0, nxa₃00, … , nxa_p0…0 tengan todos sus dígitos iguales a uno o cero. Como no sabemos a priori cuantos dígitos p han de necesitarse, también ha de ocurrir que los acumulados parciales han de estar compuestos de la misma manera y ser divisibles entre n para que m (el número buscado) sea siempre entero. Lo primero lo hacemos por construcción; lo segundo puede comprobarse que los acumulados también son divisibles entre n:

(2.1) nxm = nxa₁

(2.2) nxm = nxa₁ + nxa₂0

(2.3) nxm = nxa₁ + nxa₂0 + nxa₃00

……………………………….….…

(2.p) nxm = nxa₁ + nxa₂0 + nxa₃00 + …. + nxa_p0….0

En efecto, ha simple vista puede verse que todas las ecuaciones anteriores son divisibles entre n, con lo que m es siempre un número entero. La cuestión ahora es cómo asegurase que los sucesivos productos nxa₁, nxa₂0, nxa₃00, … , nxa_p0…0 nos dan unos o ceros en los dígitos que ocupan el lugar primero, segundo, … , p-esimo dígito, respectivamente, siendo a₁, a₂ ,…, a_p cualquier dígito entre el cero y el nueve (ambos inclusive). La siguiente tabla nos la asegura:

A	B	C	D
dígitos			último
del sistema	números	AXB	dígito
decimal	calculados		de AXB
0	1	0	0
1	1	1	1
2	5	10	0
3	7	21	1
4	5	20	0
5	2	10	0
6	5	30	0
7	3	21	1
8	5	40	0
9	9	81	1

La columna A representa los 10 primeros dígitos posibles (del cero al nueve) que son los también posibles correspondientes a los a₁, a₂, … , a_p. La columna B (la estratégica) está calculada de tal forma que los productos de sus elementos por la columna A nos de los números de la C tales –como puede comprobarse a simple vista– que su último dígito es o uno o cero. El resultado se expone en la columna D. Es decir, con ello se demuestra que siempre es posible encontrar un número tal que multiplicado por otro nos de otro cuyo primer dígito de la derecha sea uno o cero, con lo que queda demostrado el problema. Hay una última pregunta: ¿cuántos dígitos p del cero al nueve hay que tomar? La respuesta es: tantos como sean necesarios para que se cumpla (2.p), porque mientras no se cumpla ocurrirá que:

(3) nxm > nxa₁ + nxa₂0 + nxa₃00 + …. + nxa_p0….0

Y sabemos que se cumplirá porque se cumple para todos los acumulados como hemos visto. De la tabla anterior se puede comprobar que el número de números que satisfacen las soluciones de los números naturales que se plantea el problema están en la relación del 60% de ceros para un 40% de unos (ver columna D y contar número de ceros y de unos).

Madrid, 26 de junio de 2011.

La UE: menos fondo monetario y más reserva federal

Antonio Mora Plaza

Entre Bruselas, Merkel y el BCE, al final van a conseguir que Grecia se arrepienta de haber entrado en la zona euro. Si cada vez que hay un vencimiento de la deuda griega, incluso dentro del fondo de estabilidad ya aprobado hace un año de 110.000 millones de euros, resulta que hay dudas sobre la ejecución de lo acordado (12.000 millones) la cosa se hace y se hará cada vez más insoportable. ¿Para qué sirven los acuerdos, incluso con el FMI por medio? El fracaso de las medidas para “salvar” a Grecia y a los periféricos en el futuro es tan evidente que pasados 13 meses desde la creación del Fondo de Estabilidad, griegos, portugueses e irlandeses tienen que seguir financiando su deuda pública en los “mercados” (especulativos) a tipos de interés que igualan o superan a los que se financiaban hace un año cuando se creó el fondo. El fracaso es tan palmario que ya no se puede echar por más tiempo la culpa a la crisis o a las mentiras del gobierno de derechas de Karamanlis cuando el país heleno entró de pleno derecho en la Unión Monetaria (2002). Ahora son los errores de las políticas neoliberales, de los criterios erróneos neoliberales consistentes en que para salir de las crisis lo primero es eliminar los déficits. Estamos invadidos por contables en lugar de economistas, con políticos sin personalidad e ignorantes y por creadores de opinión mentecatos, ignorantes y de derechas en Europa. ¿Cómo se ha llegado a esto? Cuando se presentó la crisis en USA y tras el fracaso del juego neoliberal al dejar caer a Lehman Brothers en septiembre de 2008, el presidente Obama y la Reserva Federal dijeron que el siguiente (AIG) y los siguientes ya no podían caer, que el juego del sólo mercado había fracasado y apuntaló la economía del país con 800.000 millones de dólares. Practicó un keynesianismo de derechas (se ayudaba a los ricos) para evitar una nueva gran depresión. Éticamente era repugnante, pero económicamente –al menos en el corto plazo, en lo inmediato– no había otra salida. Y no sólo se ayudó a bancos y compañías de seguros, sino incluso al sector del automóvil. La mayoría de esas ayudas eran en forma de préstamos, compra de títulos y garantía de depósitos por parte del Gobierno Federal y de la Reserva Federal, que resultaban privilegiados, pero que evitaban entrar en una espiral contractiva producción-renta-consumo. Otra cosa es que luego no se pidieran responsabilidades y que los culpables de la crisis –los que actuaron con dolo al menos– no hayan acabado en la cárcel, pero eso es debido a que no hay aún una mayoría crítica de ciudadanos contra los responsables, porque toda las actuaciones de los fondos especulativos, de las agencias de calificación, de los cdos, del empaquetamiento de las hipotecas subprime y demás comportamientos e instrumentos financieros, están camuflados, protegidos en el saco de “los mercados” y en la “libertad de comercio” que los propios ciudadanos afectados por la crisis la defienden. Y claro, a los mercados no se les puede juzgar y menos meter en la cárcel.

En Europa la cosa es aún peor. Aquí, en plena de crisis, cuando el consumo interno de los países de Europa –en general– había caído, contribuyendo con ello a una espiral contractiva, los cretinos de los políticos europeos, con sus economistas de cabecera e instituciones públicas y privadas que les asesoraban, sólo se les ocurre que para salir de la crisis lo primero, principal y casi única actuación de los países con más dificultades –originadas por la arbitrariedad y especulación de los fondos de inversión- era reducir los déficits reduciendo el gasto público, los salarios y las pensiones. Con ello se entraba en esa espiral contractiva y ya nada tiene solución, porque esa no depende del tamaño de los fondos a disposición. De esto aún no se han dado cuenta en Bruselas: ¡que no es un problema de tamaño!, por mucho que se le quiera prestar a Grecia y demás países. El problema es que si tiene que renovar su deuda a 12 puntos de diferencial de tipo de interés con respecto al bono alemán a 10 años y a tipos superiores al 30% a corto plazo, el país se vuelve cada vez más insolvente porque para evitarlo tendría que crecer ¡a esa misma tasa de crecimiento más la tasa del bono alemán!

Europa está en la encrucijada, lo lleva estando desde que estalló la crisis en el 2007 y los políticos europeos, deseosos de satisfacer a sus electorados conservadores, no han avanzado un ápice en la creación de unos verdaderos Estados Unidos de Europa. Una sola moneda, la moneda única, apenas es nada para llegar a esa meta. Ni siquiera estamos en una unión monetaria, sino en una mera unión cambiaria, porque una sola moneda es equivalente a un sistema de cambios fijos si no le acompaña un Banco Central Europeo que asuma sus responsabilidades como lo hace la Reserva Federal en USA. Hay que asumir que las deudas de los Estados es la deuda de la Unión Económica, que debe irse a un sólo organismo de emisión de deuda europea, a un solo sistema fiscal, a un mismo techo de gasto, a un banco central que no tenga sólo como meta la inflación sino también el empleo, que sea siempre prestamista de última instancia y que sea capaz de suscribir deuda pública de los Estados cuando la financiación en “los mercados” privados resulte a unos tipos de interés insoportables que lleven a la quiebra a los países miembros. Se dice que Bruselas le ha dado un ultimátum a Grecia, cuando debiera ser al revés: ¡debería ser Grecia quien diera un ultimátum a la Unión, al Consejo y al Parlamento -¿ha desaparecido el Parlamento europeo, por cierto?- para que diera solución al problema de la renovación de la deuda de uno de sus estados frente a los privados, frente a los tiburones financieros! Estamos en mitad de la primera mitad de un puente que se resquebraja. En una orilla –la que hemos dejado– está el euro; en la otra están estos Estados Unidos de Europa. O se avanza o se retrocede, pero en medio no podemos estar porque nos hunden la crisis, los mercados, la empresas de calificación, los fondos especulativos, los políticos miserables -tipo Merkel- y estas derechas europeas aún más miserables, oportunistas, populistas y cuasi-fascistas que hemos tenido desde los año 30 del pasado siglo, y con una ciudadanía que quiere que se le deje especular, pero que no quiere sufrir sus efectos negativos. El neoliberalismo ha fracasado, tanto en su vertiente económica del sólo mercado, del cuanto menos Estado mejor, como en su vertiente política, aunque sean políticos de la izquierda sociológica (Papandreu, Zapatero, Sócrates) los que aplican esas políticas desde mayo del 2010. El mundo al revés.

Si Grecia tuviera ahora su moneda podría devaluar y tener su propia política económica. El país se empobrecería porque empeoraría su relación real de intercambio con el exterior, pero al menos tendría su propio banco central, su propia política monetaria. Podría combatir el déficit a medio y largo plazo, anteponiendo el empleo a la contabilidad, un mínimo de crecimiento a la bancarrota. Es decir, lo que tiene ahora el Reino Unido. Lo dicho, entre Bruselas, Merkel, Karamanlis, los mercados y la crisis van a conseguir que los griegos se arrepientan de haber cambiado su dracma en el 2002 por el euro, porque ahora sí que tienen un drama, pero sin “c” y digno del mismo Esquilo. Y esperemos que la cosa no se agrave más por este lado del Mediterráneo.

Madrid, 21 de junio de 2011.

Desafío matemático de El País (14)

Antonio Mora Plaza

Partimos de los datos del problema, es decir, de 30 partículas positivas, 10 negativas y 17 neutras. Vamos a proceder de forma secuencial de tal forma que una negativa (-1) reaccione con una positiva (+1) y se convierta en 2 neutras (2N). El resto suponemos que no reaccionan entre sí, o que si lo hacen, lo hacen entre partículas del mismo signo, con lo que nada cambia de acuerdo con las condiciones del problema. De lo anterior tenemos que se ha pasado de la composición:

1) 30 (+)

10 (-)

17 (N)

a la composición:

2) 29 (+)

9 (-)

19 (N)

En efecto, lo anterior es el resultado de convertir una positiva (+1) y una negativa (-1) en 2 neutras, sumar estas 2 a las 17 neutras y restar 1 partícula positiva a las 30 positivas y 1 negativa a las 10 negativas. Procedemos ahora de la misma forma, es decir, hacemos reaccionar o chocar una partícula positiva con una negativa para obtener 2 neutras. Tras hacer de nuevo balance, queda:

3) 28 (+)

8 (-)

21 (N)

Si nos fijamos en la evolución de las partículas positivas y las neutras, vemos que tras una secuencias más llegarán a igualarse o a diferenciarse en 2 partículas. Si se igualaran, el problema estaría resuelto, porque entonces haríamos reaccionar las positivas con las neutras y se convertirían en negativas, que sumadas a las negativas (si es que quedan), todas serían negativas. El problema ahora es resolver las condiciones que permitirían que se igualaran o no. Sea y el número de partículas positivas, x el número de negativas y z el de neutras. Vemos por lo anterior que las positivas disminuyen de una en una y las neutras aumentan de dos en dos. Las positivas y las neutras según lo anterior llevarán la siguiente secuencia:

reacciones	1	2	3	4	….	i
positivas	y	y-1	y-2	y-3	….	y-(i-1)
neutras	z	z+2	z+4	z+6	….	z-2(i-1)

Por lo que la solución del problema se dará cuando el número de partículas positivas sean igual al de neutras, porque ello dará lugar a un número de partículas negativas que será la suma de ambas y que, sumadas a las negativas existentes (si quedan), todas serán negativas. De lo anterior se desprende que la solución se da si i (número de la secuencia) es el resultado de igualar:

4) y-(i-1) = z-2(i-1)

Si de lo anterior despejamos y se obtiene:

5) y = z + 3(i-1) variando i desde 1 a n

De la ecuación anterior podemos despejar i para hallar en qué número de secuencia (número de reacciones) se obtendrá la igualación de partículas positivas (y) y neutras (z):

6) i = 1 + (y-z)/3

Si sustituimos las condiciones del problema en (6) vemos que no coincidirán el número de positivas y neutras, puesto que 30 (+) menos 17 (N) no es divisible por 3. Sí lo serían si en lugar de 17 neutras –es un ejemplo– fueran 15, porque entonces 30 (+) menos 15 (N) es divisible entre 3.

Si en lugar de partir de las positivas y las neutras tomáramos las 10 negativas y las 17 neutras, tampoco habría solución, puesto que la diferencia entre ambas no es divisible entre 3. Y por último, si partiéramos de las posibles reacciones entre las 30 positivas y las 10 negativas tampoco sería solución porque con su diferencia ocurre lo mismo: no es divisible entre 3. Es decir, en las condiciones originales del sistema no se puede producir un cambio a un estado en el que el número de partículas sean todas del mismo signo.

Madrid, 18 de junio de 2011.

Curriculum de Antonio Mora Plaza

C/García de Paredes, 33 – 5º Ctro. Izda., 28010 Madrid, España

Tfnos.: 91-593.10.08 y 682.481.438

DNI: 2186480P

Correo: antonioamora@hotmail.com

- Soy economista, licenciado en Ciencias Económicas por la Universidad Complutense de Madrid (análisis económico y economía cuantitativa)

nº de registro nacional de títulos 1992094689

- He trabajado durante 28 años en la actual BNP Paribas (antigua Banca López Quesada)

- He sido miembro de las comisiones de Seguimiento y Control de las mutuas FRATERNIDAD-Muprespa y de FREMAP.

- Miembro también de la Comisión de Prestaciones Especiales de FRATERNIDAD.

- Secretario de Seguridad y Salud en BNP-Paribas, S.A.

- He trabajado para el Gabinete técnico de CC.OO.- Madrid en temas de expediente de crisis.

- Colaborador de la Fundación Sindical de Estudios de CC.OO. de Madrid.

(http://www.fundacionsindicaldeestudios.org/artavan-bin/QuorumEC/init)

- Actualmente articulista de la revista digital “Nueva Tribuna”.

(www.nuevatribuna.es)

- artículos y trabajos publicados de economía:

- “Siniestralidad y temporalidad”

Para el Consejo Económico y Social de Madrid, año 2002.

- “Mercado de trabajo e intermediación laboral”

Trabajo realizado para la Fundación Sindical de Estudios, de CC.OO. de Madrid, 18.11.2004

-“El legado económico del partido popular: una bomba de relojería a medio plazo”

(www.leidoen.com/html/horoscopo.html), abril del 2004

- “La economía del Sr. Bush: un callejón sin salida”

(www.leidoen.com/html/horoscopo.html), publicado el 29.11.2004

- “Accidentes laborales, una visión heterodoxa”

Por Antonio Mora y Ángel Cárcoba, publicado en el diario EL PAÍS el 29-8-2005. (www.elpais.com/articuloCompleto/economia/Accidentes/laborales/vision/heterodxa/elpepieco/20050829elpepieco_4/Tes/)

- “Siniestralidad en España, crecimiento y cambio ocupacional”

Publicado en la revista “La Mutua” de la mutua Fraternidad-Muprespa, en abril 2006; publicado también en la Universidad de Málaga en su página web (eumed.net / Contribuciones a la Economía).

(www.eumed.net/ce//2006/amp-0604.htm)

(www.fraternidad.es/descargas/FM-REVLM-12-2_71_Accidentalidad_en_Espana_desde_la_ley_de_prevencion%20.pdf)

- “Accidentalidad en España: una visión heterodoxa”

Publicado en la “Fundación Sindical de Estudios” de CC.OO. de Madrid, en el Observatorio Sociolaboral, nº 41, marzo 2006.

(http://www.fundacionsindicaldeestudios.org/artavan-bin/QuorumEC/init)

(www.fct.ccoo.es/salud_laboral_docs/accidentalidad_vision.pdf)

- “¿Se puede construir un sistema público de salud con bienes económicos?: 7 punto críticos”

Publicado en la “Revista de Administración Sanitaria siglo XXI” en enero/marzo 2007, vol. 5, nº. 1; en la revista “Salud 2000”, en junio 2006, n. 107; en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, marzo 2006); y en la web “econpapers”, de la Orebro University (EE.UU.).

(www.eumed.net/ce/2006/amp.htm)

(www.administracionsanitaria.com/revista_RAS.php)

(http://econpapers.repec.org/article/ervcontri/)

- “Déficit o Superávit: un falso debate ideológico”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, marzo 2007).

(www.eumed.net/ce/2007b/amp.htm)

- “Genéricos y no genéricos: análisis microeconómico y propuesta de solución al dilema”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, mayo 2007).

(www.eumed.net/ce/2007b/amp-genericos.htm)

- “Salario Social y Salario Nominal”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, mayo 2007); también en la página web de la Fundación Sindical de Estudios de CC.OO. de Madrid, Observatorio Sociolaboral, nº 55, mayo 2007.

(www.eumed.net/ce/2007b/amp-salario.htm)

(www.fundacionsindicaldeestudios.org/artavan-bin/QuorumEC/init)

- “Salarios, productividad y mercado de trabajo. Algunas propuestas para el caso español”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, junio 2007); también en la página web de la Fundación Sindical de Estudios de CC.OO. de Madrid, Observatorio Sociolaboral, nº 59, septiembre 2007.

(www.eumed.net/ce/2007b/amp-0706.htm)

(www.fundacionsindicaldeestudios.org/artavan-bin/QuorumEC/init)

- “Función de producción, producción conjunta y salarios

(revisión crítica del paradigma de la productividad)”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, julio 2007)

(www.eumed.net/ce/2007b/amp-0707.htm)

y en “Nómadas”, n. 24, Revista Crítica de Ciencias Sociales y Jurídicas

de la Universidad Complutense de Madrid

(http://www.ucm.es/info/nomadas/24/index.html)

Universia.

(http://biblioteca.universia.net/html_bura/vernivel/params/nivel/5304.07/start/240.html)

- “¿Y si Cantor estuviera equivocado?”

Publicado en la pág. Web de la Universidad de Málaga (eumed.net / Contribuciones a la Economía, agosto 2007)

(www.eumed.net/ce/2007b/amp-cantor.htm)

- “Aspectos de la economía de Sraffa”

Publicado en la pág. Web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, 12 de septiembre de 2007)

(www.eumed.net/ce/2007c/amp.htm)

Publicado en Nómadas ( Revista Crítica de Ciencias Sociales y Jurídicas de la Universidad Complutense de Madrid, nº de Julio-Diciembre de 2009)

(http://www.ucm.es/info/nomadas/23/index.html)

(http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/181/18111418012.pdf

- “Notas sobre el teorema fundamental marxiano”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, octubre 2009)

(http://www.eumed.net/ce/2009b/amp.htm)

- “Acerca del problema de la transformación de valores a precios”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, noviembre 2009)

(http://www.eumed.net/ce/2009b/amp2.htm)

Publicado en la revista “Nómadas” de la U. Complutense de Madrid

(http://www.ucm.es/info/nomadas/25/antoniomora.pdf)

- “Notas de la producción conjunta a partir de Sraffa (I, II y III parte)”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, noviembre y enero 2009)

(http://www.eumed.net/ce/2009b/amp3.htm) y

(http://www.eumed.net/ce/2010a/amp.htm)

(http://www.eumed.net/ce/2010a/amp2.htm)

Publicado en la revista “Nómadas” de la U. Complutense de Madrid

(http://www.ucm.es/info/nomadas/25/antoniomora2.pdf)

- “Conjunto de artículos publicados en la pág. web de “Nueva Tribuna”

(http://www.nuevatribuna.es/noticias_firmante.asp?firmante_id=72)

Recogidos también en forma de libro físico y en descarga a libro electrónico y bajo el título.

-“Escritos económicos desde la izquierda”

(https://www.bubok.es/tienda/Ciencias-sociales-y-empresa/Economia-general)

- “A los 50 años de “Producción de mercancías por medio de mercancías”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, julio 2010)

(http://www.eumed.net/ce/2010b/amp.htm)

- “Aspectos de la economía de Sraffa (II parte)”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga

(eumed.net / Contribuciones a la Economía, julio 2010)

(http://www.eumed.net/ce/2010b/amp2.htm)

Publicado en la revista “Nómadas” de la U. Complutense, IV trim. 2010

(http://www.ucm.es/info/nomadas/28/antoniomora.pdf)

- “Aspectos de la economía de Sraffa (III parte)”

Publicado en la pág. web de la Universidad de Málaga (eumed.net/Contribuciones a la Economía, agosto 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp3.htm

- “Aspectos de la economía de Sraffa (IV) parte”

Publicado en la web de la Universidad de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, agosto 2010).

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp5.htm

- “Morishima y el problema de la transformación de valores a precios”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, agosto 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp4.htm

-“La reproducción simple de Marx a la luz de Sraffa”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, septiembre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp6.htm

-“Tasa máxima de ganancia y razón-patrón a partir de Sraffa”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp8.htm

-“Esbozo de una teoría de la reproducción y acumulación a partir de Sraffa”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp9.htm

-“Sraffa y la función subrogada de producción de Samuelson”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp10.htm

-“La economía de Sraffa y el teorema del punto fijo”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp11.htm

-“La economía de Carlos Marx”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp12.htm

-“Una teoría no monetaria de la inflación en Sraffa”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp13.htm

-“Sraffa versus marginalismo”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/ce/2010b/amp14.htm

-“Sobre los límites del conocimiento y de su divulgación a la luz de Hawking”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, enero 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp.htm

-“Modelo de equilibrio marginalista frente al modelo esrafiano partiendo de su generalización”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, enero 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp2.htm

-“De la semilla de Sraffa”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, enero 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp3.htm

-“Un modelo de la inflación monetaria en Sraffa a partir de la demanda de dinero en Keynes”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, febrero 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp5.htm

-“Las trampas de Samuelson en 1961”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, febrero 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp4.htm

-“La función de consumo de Keynes sobre fundamentos esrafianos”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, febrero 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp6.htm

-“Modelo integrado Keynes-Sraffa”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, marzo 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp7.htm

-“Hacia un esbozo de Macroeconomía a partir de Sraffa”

Publicado en la pág. Web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, abril 2011)

http://www.eumed.net/ce/2011a/amp8.htm

Libro digital

-“Descifrando a Sraffa”

Publicado en la pág. web de la U. de Málaga

(eumed.net/Contribuciones a la Economía, octubre 2010)

http://www.eumed.net/libros/2010e/839/index.htm

Literatura

- “Historia del beduino”

micro-relato publicado en el diario “El País” el 5.8.2009

- “La biblioteca de mi abuelo Berto”

Éride Ediciones, S.L.

Publicado en febrero de 2009 en formato de libro clásico

Como e-book en LUARNA

(http://www.mscomunicacion.es/index.asp?pagina=prensa-virtual&c=13&subpagina=284)

Como e-book en El Corte Inglés

(http://ebooks.elcorteingles.es/LA-BIBLIOTECA-DE-MI-ABUELO-BERTO-ebooks-9788492684304.html)

En “lalibrería de la U.com”

(http://www.lalibreriadelau.com/catalog/product_info.php/manufacturers_id/430/products_id/26005?sid=9d926260910b28c62a55b5c86e273aea)

En “Todo e-book”

(http://www.todoebook.com/LA-BIBLIOTECA-DE-MI-ABUELO-BERTO-ANTONIO-MORA-PLAZA-LUARNA-EDICIONES-SL-ebook-9788492684304.html)

- “La biblioteca de mi abuelo Berto (II parte)”

Aún sin editar en libro físico

- “Las aventuras de Laurita y Valentina”

Aún sin editar en libro físico