Desafío matemático de El País (17)

Antonio Mora Plaza

Este desafío matemático estriba en cubrir exactamente un espacio de dimensiones dado con tiras de papel de un ancho dado. No vale sólo hallar un espacio de iguales dimensiones a partir de la tira de papel. Este se podría hacer con la ecuación:

(1) 20xyxm + 20xzxn = 90cmx150cm = 13.500cm²

donde y sería la longitud del papel de las m tiras y z la longitud del papel de las n tiras, y donde m y n han de ser, lógicamente, números naturales, y x y z pueden tener parte fraccionaria pero que pueda ser expresada esta parte mediante cociente de dos números enteros (es decir, número racionales). Pero (1) no sería solución porque no tendría por qué cubrir el espacio dado aunque fuera la suma del espacio de las tiras así cortadas igual al de la mesa de dimensiones 90cmx150cm. Si tomamos el lado largo de la mesa (150cm), vemos que podemos partir de cero a 7 tiras verticales de ancho del papel (20cm) porque con 8 tiras ya nos pasaríamos de la longitud de la mesa (8 tiras x 20cm = 160cm). El cuadro siguiente nos da el valor en cm de lo queda para utilizar tiras horizontales una vez agotadas las verticales:

(2) 150cm – 1 tira x 20cm = 130cm

(3) 150cm – 2 tiras x 20cm = 110 cm

(4) 150cm – 3 tiras x 20cm = 90 cm

(5) 150cm – 4 tiras x 20cm = 70 cm

(6) 150cm – 5 tiras x 20cm = 50 cm

(7) 150cm – 6 tiras x 20cm = 30 cm

(8) 150cm – 7 tiras x 20cm = 10 cm

De momento no nos interesa la longitud de estas tiras verticales de ancho 20cm. El problema surge ahora cuando tenemos que recubrir lo que queda (última columna), porque, dado que el ancho está dado (20cm) para las tiras horizontales, vemos que no hay un número exacto de tiras que recubran los 90 cm de la dimensión estrecha de la mesa porque esta cantidad no es divisible tampoco entre 20 cm. Explicado de otra forma, para cubrir exactamente la mesa de dimensiones dadas ha de cumplirse la ecuación:

(9) n = (150cm – mx20cm)/20cm

siendo m el número de tiras verticales y n el de horizontales. La ecuación (9) puede escribirse:

(10) n = 150cm/20cm – m

Pero 150 no es divisible entre 20, por lo que no podemos obtener un número exacto de tiras horizontales (n) a pesar de que partamos de un número exacto de tiras verticales (m).

Lo mismo nos hubiera pasado si giramos la mesa y partimos del lado estrecho (90cm). En definitiva, la conclusión es la de que el problema sólo puede tener solución si al menos una de las dos dimensiones de la superficie rectangular a cubrir es divisible entre la anchura del papel que la tiene que cubrir. No es el caso en el problema porque ninguna de las dos dimensiones de la mesa (150cm de largo y 90cm de ancho) son divisibles entre 20cm.

Madrid, 9 de julio de 2011.